只不过,这里流动的不是热量,而是曲率。
想像一个畸形的三维空间,就像一个表面凹凸不平的土豆。
在这个方程的演化下,曲率大的地方会收缩,曲率小的地方会扩张。
就像热量扩散一样,空间的畸变会隨著时间的推移而逐渐被抚平。
在数学上,我们定义git(t)为黎曼度量族。
隨著t的增加,无论这个流形最初多么扭曲,它都在试图进化成一个拥有常截面曲率的完美形態。”
说到这里,林燃停顿了片刻,眉头紧锁,似乎在面对一个看不见的敌人。
“但是,这里有一个致命的陷阱,那就是奇点。
他在黑板上重新画了一个哑铃形状的物体,中间连接的把手非常细。
“当里奇流作用於这个哑铃时,两端的球体会变圆,但中间的连接颈部会收缩得比其他地方更快。
当曲率趋向於无穷大时,这个颈部会断裂。
在数学上,这意味著方程爆破,演化停止。
“台下的数学家们屏住了呼吸。
这就是几十年来拓扑学家们的噩梦。
“如果是过去,我们会在这里停下,宣布失败。”
但现在我们可以引入了一个手术。”
林燃用手作挥舞状,似乎手就是一把刀。
“在奇点即將形成的前一刻,我们人为地切断这个颈部,將两个断开的埠分別用一个標准的球冠封死。
然后,让新的流形继续按照里奇流方程演化!
切断、封口、继续演化;再遇到奇点,再切断、再封口...”
林燃仿佛指挥家在指挥一场宏大的交响乐:“当我们不断重复这个过程,隨著时间t趋向於无穷大,那些复杂的、纠缠的拓扑结构会被一个个分解。
最后,我们会发现,剩下的所有碎片,都是我们熟悉且標准的三维球体。”
林燃双手撑著讲台,扫视全场:“如果我们能证明,任何单连通的封闭三维流形,在经过里奇流和手术的洗礼后,最终都不可避免地退化为標准球体。
那么,我们就反向证明了—一它们最初的本质,就是球体。
这,就是庞加莱猜想的终结。
接下来让我们正式进入到论证的过程中去...”
台下的听眾们仿佛刚刚经歷了一场思维的过山车。
林燃没有使用晦涩难懂的拓扑学术语,同调群或基本
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