题,三个小时。题量不小,难度……果然不低。第一道是函数与数列的综合题,第二道是立体几何与不等式的结合,第三道是组合计数,第四道是数论,第五道是解析几何综合,第六道是压轴的证明题,涉及代数、数论、组合多个领域的知识融合。
考场里一片寂静,只有笔尖划过纸张的沙沙声,和偶尔有人翻动试卷的轻响。空气仿佛凝固了,弥漫着无形的压力。
聂枫拿起笔,从第一题开始。题目很灵活,需要构造一个特殊的函数形式来满足递推关系。他没有急于下笔,而是先在草稿纸上尝试了几种常见的函数模型,发现都不理想。时间一分一秒过去,周围已经有人开始焦躁地挠头。聂枫强迫自己冷静下来,回想陈老师讲过的“观察结构,寻找不变量”的思路。他将题目给出的递推式反复看了几遍,尝试进行变形……忽然,他脑海中灵光一闪——如果将递推式看作某种“迭代”过程,那么数列的极限性质可能会揭示函数的形式!这个想法如同黑暗中的一道闪电,他立刻沿着这个思路往下推导,果然发现数列的极限与函数在特定点的取值有关,进而反推出函数必须满足的一个微分方程特征!虽然解微分方程超纲了,但结合题目给出的整数条件,可以巧妙地绕过严格求解,直接构造出符合条件的函数表达式。
思路一通,下笔如有神。他迅速在草稿纸上完成构造和验证,然后工整地誊写到答题卡上。第一题,攻克。
第二题,立体几何。图形复杂,需要添加多条辅助线。聂枫闭目凝神片刻,脑海中迅速构建出立体模型,手指在桌面上无意识地虚划着。长期的推拿实践,特别是对骨骼、关节、筋络空间位置的精确把握,让他对三维结构的想象和操作有着异乎寻常的敏锐。几乎是直觉般的,几条关键的辅助线在他脑海中清晰浮现。他睁开眼,迅速在图上标出,后续的证明水到渠成。
第三题,组合计数。常规的分类讨论容易陷入繁琐。聂枫尝试了几种分类,都觉得计算量太大。他停下来,再次审视题目条件。忽然,他想起了之前和苏晓柔讨论古文时,她提到的一种“互文见义”的解读方法——不孤立看待每个条件,而是寻找条件之间的隐含关联。他将题目中的限制条件重新组合,尝试用一个递推关系来描述整个计数过程……成功了!一个简洁的递推公式被建立起来,大大简化了计算。
就这样,一道接一道。聂枫完全沉浸在了题目构成的迷宫中。外界的一切——监考老师的踱步声、其他考生偶尔的叹息、窗外呼啸的风声——都消失了。他的世
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